投资百科_有效资产组合_专业的词条知识

图（1）有效资产组合选择的几何解析

如图(1)所示：横坐标表示资产组合收益率的标准差δp,纵坐标表示资产组合的收益率；设无危机利率为rf,则根据文献[2]可知:任何投入者的有效资产组合集为从点(O,rf)出发通过点M的一条射线。其中点M即为给定无危机利率rf下危机资产有效组合,所以无论投入者的收益-危机特征如何,他们所选择的有效资产组合肯定是落在这条射线上:即由无危机资产和危机资产有效组合构成。

至于区别投入者会选择射线上的区别组合完全取决于其收益-危机偏好.投入者的收益-危机偏好可以用其无差异曲线表示.根据文献[3]的描述可知无差异曲线是凸向横轴!如图(1)中的曲线I此时根据均值方差理论从投入者的不满足性和危机厌恶性出发,可知投入者肯定会选择其无差异曲线与线性有效集的切点,如图(1)中的P点。并且可以判断P点沿着射线离点(O,rf)越远,表明投入者的越是危机爱好型的；反之,表明投入者的越是危机厌恶型的.

根据第一部分的定性解析,资者有效资产组合的选择分三个步骤:

第一步寻求有效资产组合集；

第二步确定投入者的无差异曲线及其方程；

第三步根据投入者的不满足性和危机厌恶性选择有效资产组合,确定投入方案。

一、有效资产组合集的形成

寻求有效资产组合集的实质即为从点(O,rf)出发的射线中与风险资产组合有效集相切的切点合集M的风险资产构成.根据图(1)可知使得该射线与横轴的夹角(设为δ)达到最大,所以此问题可归结为(1)式表示的数学规划问题.设市场上有N 种风险资产,此时无风险利率为rf,ri(i=1,2,3…N)表示第1种风险资产的收益率，δi(i=1,2,3…N)表示第1种风险资产的收益率的标准差，δij(i,j=1,2,3…N. $i \ne j$ ) 表示任两种风险资产的收益率的协方差.由这N种风险资产构成的组合P的期望收益率 $\overline{r}_p=\sum_{i=1}^N X_i R_i$ ,其标准差 $\delta_p=(\sum_{i=1}^N X_i ^2\delta_i ^2 +\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N X_i X_j\delta_ij)^{1/2}$ , $i \ne j$ ,若满足（1）式条件，则组合P为风险资产组合M,并求Xi,确定风险资产构成。

　　 $\begin{cases}\theta=\frac{\overline{r}_p - r_f}{\delta_p}\\ \sum_{i=1}^N X_i =1 \end{cases}$ .(1)

　　(1)式为约束极值问题，因为 $r_f=1r_f=\sum_{i=1}^N X_i r_f$ ,将其带入目标函数消去约束方程，则（1）式变成无约束极值问题，如（2）式。

　　 $\theta=\frac{\sum_{i=1}^N X_i(\overline{r}_i-r_f)}{(\sum_{i=1}^N X_i ^2\delta_i ^2 +\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N X_i X_j\delta_ij)^{1/2}}$ , $i\ne j$ . (2)

　　对于（2）式，为使θ最大，即要求

　　 $\frac{\alpha\theta}{\alpha X_i}=0$ (i=1,2,…，N),若设 $X_i=\frac{Z_i}{\sum_{i=1}^N Z_i}$ ,则参照文献[2] [2]给出的推导，整理并简化得如下方程组（3）：

　　 $\overline{r}_i - r_f=Z_{1\delta 1 i}+Z_{2\delta 2 i}+...+Z_{n\delta 1 i }$ (i=1,2,3...,N) . (3)

　　方程组（3）有N个方程，N个未知数Zi(1,2,3...,N).因为rf,δNi 已知，Zi(1,2,3...,N)的解是确定的，从而Xi 的解也是确定的，所以风险资产有效组合M随之确定.此时，可求出\overline{r}_M,\delta_M，确定有效资产组合集，其为从点（O,rf）出发斜率为 $\frac{\overline{r}_M -r_f}{\delta_f}$ 的射线,该射线即为资本市场线,其方程为: