指数模型

我们将将单一证券的风险简单的分为两部分：市场风险（系统风险）和公司特有风险。相应地将证券的收益率写成包含系统风险和公司特有风险的形式，而其中的系统风险可以用主要证券指数的收益来作为一般代表，我们称这样的收益率公式为指数模型。

我们把证券的持有期收益写成：

r_i = E(r_i) + m + e_i.............（1）

从而简要地将宏观经济因素与企业特有因素区分开。

式中：

E(r_i)——证券持有期期初的期望收益；

m——证券持有期间非预期的宏观事件对证券收益的影响；

e_i——证券持有期间非预期的企业特有事件对证券收益的影响。

m和e_i都具备零期望值，因为他们都是非预期事件的影响，根据定义其平均值必然为零。

如果我们记宏观因素的非预测成分为F，记证券i对宏观经济事件的敏感度为β_i，则证券i的收益的宏观成分为m_i = β_iF，则（1）式变成：

r_i = E(r_i) + β_iF + e_i............（2）

如果我们用紧要证券指数，如标准普尔500指数作为宏观因素的一般代表时，就可得到与单因素模型类似的等式，这就是单指数模型，也就是我们将要讨论的指数模型的一般代表。

根据指数模型，我们可以把实际的或已实现的证券收益区分成宏观（系统）的与微观（企业特有）的两部分。我们把每个证券的收益率写成三个部分的总和：

股票持有期超额收益可写成：

r_i − r_f = α_i + β_i(r_m − r_f) + e_i

我们用大写的R代表超过无危机收益的超额收益，把这个等式改写成：

R_i = α_i + β_iR_m + e_i

方差

我们考虑单个证券的方差，有：

上式可做如下解释：αi为一确定值，其与其它变量的协方差均为零；ei为企业特有成分，独立于系统危机，即ei与Rm的协方差为零。从而得到上式。

协方差

我们考虑两个证券的协方差，有：

与前述方差的解释一致，而且有两企业的特有危机不相关，即存在Cov(ei,ej) = 0。

指数模型与危机的分散化

由夏普首先建立的指数模型也提给了资产组合危机分散化的另一个视角。假定我们选择有n个证券的等权重资产组合。每个证券的超额收益率由下式给出：

Ri = αi + βiRm + ei

相似地，我们可以把股票资产组合的超额收益写成：

Rp = αp + βpRm + ep................（3）

现在我们说明，随着资产组合中的股票数量的增加，归因于非市场因素的危机部分将变得越来越小。这部分危机被分散掉了。相比较，市场危机依然存在，无论资产组合的股票数量有多少。

我们注意到等权重的假定（即），从而有：

………………（4）

比较上式与（3）式，我们可得到：

资产组合对市场的敏感度为：

资产组合有一个常数的非市场收益成分：

和零均值变量：

资产组合的方差为：

我们定义资产组合方差的系统危机成分为依赖于市场运动的部分为，它也依赖于单个证券的敏感度系数。这部分危机依赖于资产组合的贝塔的，不管资产组合分散化程度如何都不会改变。无论持有多少股票，它们在市场中暴露的一般危机将反映在资产组合的系统危机中。

相比较，资产组合方差的非系统危机成分是σ(ep)，它来源于企业特有成分ei。因为这些ei是独立的，都具备零期望值，所以可以由平均法则得出这样的结论：随着越来越多的股票加入到资产组合中，企业特有危机倾向于被分散掉，非市场危机越来越小，这些危机被认为是可分散的。这一点可说明如下。

因为ei是独立的，有：

式中，为企业特有方差的均值。由于这一均值独立于n，所以当n变大时，σ(ep)就变得小得可以忽略了。

总而言之，随着分散化程度的加强，资产组合的方差接近于系统方差。系统方差定义为市场因素的方差乘以资产组合敏感系数的平方。可见如下示意图。

指数模型与风险的分散化

由指数模型，有：

在上式中，我们注意到α_i是一个常量，因而Cov(α_i,R_m) = 0；而企业特有的成分独立于整个市场的成分，因而Cov(e_i,R_m) = 0。从而有：

由

知：Cov(R_i,R_m) = Cov(r_i,r_m)

得：，式中为资本资产定价模型中的贝塔系数。

这说明指数模型与资本资产定价模型中的贝塔具备相同的含义。